라그랑주 정리(Lagrange's theorem)란 군론의 정리 중 하나로 유한군의 부분군의 위수를 결정해주는 정리 중 하나이다. 특히, 이 정리는 군론의 위수를 완벽하게 결정하며 몫군이 무슨 의미를 가지는지 설명해줄 뿐 아니라 부분군의 갯수를 결정해주기도 한다.
목차
1. 진술
2. 증명의 개요
3. 예제
4. 무한군에 대한 라그랑주 정리
5. 영상
G가 유한군이고 H가 G의 부분군이라고 하자. 그러면 H의 위수는 G의 위수를 나누게 된다.
2. 증명의 개요 ✎
먼저 우리는 다음을 보자.
G=\displaystyle\bigcup_{g\in G}gH |
그리고 자명하게 모든
g,h∈G에 대해서
gH와
hH의 위수는 같다. 그리고
gH와
hH는 서로 같거나 또는 서로소이므로
G=\displaystyle\bigsqcup_{g\in G}gH |
가 되고 증명이 끝난다.
- 위수가 5 이하인 모든 군은 아벨 군이다.
H가 G의 정규부분군이면 G/H의 위수는 |G|/|H|가 된다.p가 소수고 a가 p로 나누어지지 않는 정수일 때 ap−1≡1(modp)가 된다.(1)
4. 무한군에 대한 라그랑주 정리 ✎
선택공리를 가정하면 무한군에 대해서도 라그랑주 정리가 성립함을 증명할 수 있다. 사실, 무한군에 대한 라그랑주 정리는 선택공리와 동치이다.
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